1.4 交通拥堵分析的经济市场方法

很久以前，在交通拥堵还未达到今日的严重程度时，这一问题就已经引起了经济学家的注意。早在1920年，庇古就将微观经济理论用于分析交通拥堵，为建立交通拥堵分析的标准经济学模型奠定了基础。由于庇古的方法和结论亦适用于分析一般性的“外部成本”，他的研究也在运输经济学领域之外引起了广泛关注。总之，庇古指出当存在外部成本的时候，自由市场不能得到有经济效率的结果，政府应当施行矫正税以恢复效率。此矫正税应该反映外部成本的边际经济价值，如今，这类税收在经济学中被普遍称为“庇古税”。为了理解这个结果的重要性，有必要回顾一下外部效应：当一个人合法的消费行为或生产行为对他人（至少一个人）的福利施加了无法定价的影响时，这种合法行为的副作用被称为外部效应（因此，犯罪和暴力通常不被认为是外部成本）。因此，庇古的分析除了与拥堵政策直接相关外，还与环境污染、噪声、气味等问题相关。

这里我们主要关注的是庇古的分析对交通拥堵的经济管制意味着什么。我们将从对交通拥堵的最简单情形进行经济分析开始，一步步得出庇古的结论。这意味着，我们将仅考虑一条连接单一起点和单一终点的道路，道路使用者接近同质，他们仅在道路使用费的支付意愿上存在差别。每个使用者乘坐一辆车，“使用者”“车辆”“行程”这些术语在文中互换使用。我们没有考虑通常情况下交通拥堵的复杂动态模型，只考虑“静态”拥堵状况。这意味着交通速度和道路使用密度为定值，不随时间变化，也不随道路里程变化。我们之后会进一步考虑一个给定时间段内的高峰期。

在这些假设条件下，我们建立了一个分析交通拥堵的经济市场模型。为了让主要观点尽可能清晰，在展示一般原理的同时，还将使用一个完全虚拟但颇具说服力的例子，这个例子会以不同的形式出现，贯穿本书的第1章至第3章。

1.4.1 需求方

道路使用的价格：广义价格概念

正如对大多数经济产品所做的那样，我们有理由假设：对一条道路上行程的需求量会随着价格的下降而增加。从这个角度来说，建立道路使用模型的经济方法与其他任何市场的建模方法相同。然而，两者对价格的定义略有不同。通常情况下，人们只考虑产品的货币价格，即商店报出的用货币单位（如欧元）表示的售价。而对于道路上的行程来说，对价格做出如上的解释多少有些不自然：行程不是在商店中买到的，而是消费者通过购买（或租用）车辆、支付维修和保险费用、购买燃油、投入完成旅途的宝贵时间而自己“生产”出来的。其中一部分成本在短期内是给定的，或者说，它们与是否要开始某段特定的行程这类决策无关；另一部分成本则是可变的，它们可以通过终止行程被节省下来。我们将这些可变的成本定义为路上行程的广义价格（表示为p）。这个广义价格既包括货币费用（如燃油费），又包括完成行程所需的时间。“广义”这个形容词是用来提醒我们，道路使用中关于价格的解释与其他市场相比或多或少是有些特殊的。

时间价值

广义价格里的不同组成部分是不能简单相加的。例如，燃油费用欧元来衡量，而出行时间用分钟（或小时）来衡量。因此，为了使货币和时间具有可比性，需要确定所谓的时间价值。

“时间就是金钱”这句名言在经济上对应着时间价值。对于大多数的道路使用者来说，拥堵造成的时间损失具有确定的价值，否则，拥堵就不会成为一个问题。时间价值反映了一个典型的道路使用者在行程中为避免时间损失而愿意付出的货币平均值。有时，通过研究现实中个体对时间和货币的权衡行为（“显示性偏好”研究），可以得到时间价值的实证估计值。此外，我们也可以通过分析假想的行为来估计时间价值，例如，通过问卷形式使被试者面对同样的权衡（“陈述性偏好”研究）。在第5章，我们将对此进行更加详细的探讨。如表1.1所示，时间价值的实证估计结果可能在不同类型的道路使用者之间存在很大差异。

表1.1 2010年荷兰道路使用者（驾车者）的时间价值估值

有了对时间价值的适当估值，我们就可以将时间价值与出行时间相乘，进而将出行时间转化为等值货币，然后就可以把这个结果与其他成本（如燃油费）相加，最终得出以货币计量的一段行程的广义价格。

描述行程需求

在我们考察的高峰时段内，单一道路使用的需求函数可以简单地用广义价格p（例如，以欧元表示）和行程的需求量N的关系来给出。按照经济学惯例，我们在图形和数学表达中使用它的反函数。所以，现在将坐标轴交换，用x轴表示N，y轴表示p，得到反需求函数，在下文中表示为D。

图1.8展示了一个反需求函数的例子，我们将在本章和下一章的例子中一直使用这个反需求函数。它有一个非常简单的线性形式：

该式中的参数d₀和d₁分别是反需求函数的截距和斜率。在本例中，d₀=100，d₁=1。

图1.8 反需求函数（D）或边际效益函数（mb）

无疑，反需求函数准确传达了与“普通”需求函数（N是p的函数）同样的信息。例如，与式1.1中的反需求函数对应的普通需求函数为：

在本例中可表示为：N=100-p。

反需求函数和边际效益

反需求函数表明了对每个可能数量的边际支付意愿：消费最后一单位商品的消费者愿意为这一单位商品支付的最高金额。就是说，如果一条“普通的”向下倾斜的需求曲线告诉我们，在价格为70欧元的时候消费者的需求量为30（正如本例中所示），那么反需求函数同样告诉我们，消费者对第30单位商品的最大支付意愿恰好是70欧元。为什么应该是这种情况呢？这是因为，即使价格只是稍稍上涨也会使这第30单位的商品无法售出。因此我们得出结论：购买第30单位商品的消费者显然不准备支付比70欧元更高的价格。但是，她（他）准备支付70欧元，不然第30单位的商品不会以70欧元的价格出售。当然，通常情况下，当价格降到70欧元以下时，她（他）也会愿意买下这一单位的商品。

反需求曲线的这个解释为需求分析和福利测算提供了重要联系。在应用经济学研究中，通用的测算消费效益的方法就基于此类观点：消费某一单位商品带来的效益（用货币表示），等于为得到这一单位商品而愿意给出的最大支付值。在刚刚给出的例子中，消费第30单位商品所得到的效益必定等于70欧元（如果用货币来表示）。如果效益实际较低，消费者根本不会为这一单位商品付出70欧元；如果效益实际较高，当价格超过70欧元时，消费者也会购买它。由此可知，反需求函数表述了消费的边际效益：在每个数量上，它表示消费者消费最后一单位商品所能获得的效益。

从边际效益到总效益、消费者剩余和社会剩余

反需求函数也可以用来说明消费的总效益。某一均衡消费水平下的消费总效益由反需求函数（需求曲线）以下、两条坐标轴以内以及自均衡消费数量向上所引的垂线以左的区域构成。这个区域是均衡状态下售出的每一单位商品的消费效益简单相加的结果。在图1.8中，这个区域由正方形a和三角形b的和来表示，此处均衡价格是70欧元，消费数量是30单位。

反需求函数和消费总效益（B）的数学关系可表示如下：

式1.3左边说明总效益B是消费总量N的函数，右边表示需求函数从消费水平0到消费水平N的积分。∫符号是积分运算符，它告诉我们要计算积分运算符后函数曲线下方区域的面积，该面积以积分运算符上下方所示数字为上下限。

求一个函数的积分实际上是对函数微分的反过程。因此，如果我们想求出与式1.1中函数D相一致的函数B，我们可以这样问自己：哪个函数的导数为式1.1？对于线性函数来说，这是个很简单的问题，我们发现：[2]

有两种方法可以检验式1.4。第一种方法是计算它关于N的导数，事实上可以发现我们会重新得到式1.1；第二种方法是几何方法，我们可以检验图1.8中从0到任何一个N之间，D以下的区域都可以由面积为N·d₀的矩形减去面积为的三角形表示，这样立即得到式1.4。

在图1.8中，总效益的两个组成部分a和b都各有其含义。矩形a表示总费用：价格乘以数量（道路例子中的价格是广义价格，包含出行时间的价值）。三角形b表示的是总效益B和总“广义费用”之间的差额，这就是消费者剩余（CS）。消费者剩余是指消费者为其消费的全部商品中的每单位商品意愿支付的价格与实际支付的价格之差的总和。因此，图1.8表明：

消费者剩余CS与社会剩余S密切相关，而社会剩余在应用经济学研究中是反映福利的重要指标。社会剩余被定义为从消费中得到的总效益减去总成本：

因此，当消费者的总广义费用等于社会总成本时，社会剩余和消费者剩余是相等的。在我们的分析中，二者是相等的，除非政府对行程征税。征税将增加消费者的费用，但不会增加社会总成本。这只是一个转移：税收每增加一元钱的确会降低消费者剩余，但是也会以同样的幅度增加政府剩余（GS）。因此，税收对于我们计算社会剩余没有影响，换个角度说，社会剩余应当涵盖经济体中全部的剩余，因此它等于消费者剩余与政府剩余之和：

虽然这两种定义对社会剩余进行了不同的解释，但是在特定情形下，它们的计算结果应该是相等的[3]。

小结

正如对所有市场做的分析那样，我们可以使用需求函数分析道路上行程的需求。重要的是，现在“价格”中包含必需的出行时间等非货币成分。用出行时间乘以时间价值，我们得到了相应的货币等值来表示这一出行时间，并将其加入其他货币成本（如燃料费等），从而得出道路使用的广义价格。道路使用的反需求函数反映了在该道路上出行的边际效益，反需求函数下方的区域表示使用该道路可获得的总效益。总效益和总“广义费用”之间的差额表示与道路使用相关的消费者剩余。与之相关的一个指标是社会剩余，它被定义为总效益和总成本之间的差值；或者，等价地看，它等于消费者剩余与政府剩余之和。在我们的分析中，不征税时消费者剩余等于社会剩余，否则二者就不相等，因为征税只不过是一种转移，税金不构成实际的社会成本。

1.4.2 供给方

前面关于广义价格的讨论有助于我们对道路行程市场的供给方进行阐述。供给关系告诉我们，行程次数由道路的广义价格决定。当道路不拥堵时，同质的道路使用者开着相同的车，这时广义价格将是常数：每个行程需要相同的出行时间、燃料等。但是当拥堵出现时，情况就会变得不同。随着越来越多的车辆驶入道路，司机会出于对安全的考虑降低行驶速度，因此出行时间将会增加[4]。由于所有道路使用者以相同的速度行使，因此每段行程的平均成本ac将会提高。在没有通行费的情况下，平均成本ac等于广义价格p。但是，有必要将ac与p分开定义，因为在后面分析中我们会引入通行费，届时ac与p将不再相等。

行程次数与平均成本之间的关系类型取决于更多的实证研究。比较典型的情况是，当道路使用得少时，平均成本曲线几乎是水平的，当道路上几乎没有车时，额外增加一辆车很难或者根本不会影响行驶速度；然而，如果道路上车辆变多，平均成本曲线将变得越来越陡峭，当道路密度达到最大容量时，平均成本曲线将几乎变成垂直的。为了简化文中的例子，我们忽略上述非线性情况，因为它不会影响定性分析的结果。在例子中，我们假定平均成本函数用以下线性形式表示：

其中，c₀和c₁分别表示平均成本函数中的截距和斜率。在本例中，c₀=10，c₁=1。下文中图1.9给出此函数的图形。

社会总成本C很容易由平均成本推导出来：每次行程的成本ac与行程次数相乘即社会总成本。本例中，社会总成本可表示为：

一个需关注的成本函数是边际成本：额外增加一名道路使用者带来的总成本增加额。边际成本可由C对N求导得到：

下文中图1.10给出了该函数的图形。

无论成本函数的具体形式如何，上述三类成本之间的关系如下：

N个道路使用者的总成本当然等于平均成本乘以使用者数目，也等于边际成本从0到N的积分。作为练习，读者可以查看式1.8～1.10。正如总效益可由边际效益函数下方的区域表示一样，总成本也可以由边际成本函数下方的区域表示。

对比式1.8中的平均成本ac和式1.10中的边际成本mc，可以得到一个重要结论。当行程次数大于0时，边际成本大于平均成本：二者相差c₁·N。这个现象可以有多种解释。

技术上的解释是：如果边际成本大于平均成本，那么平均成本就必然会提高（根据式1.8）。以在考试中得到的成绩为例，提升平均成绩的唯一方法就是下次考试得到的分数（“边际分数”）要高于当前的平均分数。同样的准则适用于分析平均成本和边际成本的关系。

更加直观的经济解释如下。当又一名道路使用者进入一条拥堵的道路时，将会出现两种成本。第一种成本涉及这个新加入者自己要承担的成本，它简单地等于道路上现行的平均成本；第二种成本则是所有其他道路使用者的出行时间都会因之增加带来的成本，这部分边际成本与平均成本不同。在线性平均成本函数下，每新增一个使用者，现有任何一个使用者的平均成本都会增加c₁（对式1.8中的ac求关于N的微分就可以看到这点）。这意味着在总量上，现有使用者的总成本将会上升c₁·N（这恰恰就是平均成本和边际成本的差额）。因为这些成本并没有由创造出这些成本的那个使用者（新加入的使用者）自己承担，所以这部分成本构成了行程的边际外部成本（mec）：

在我们的例子中有：

下文中的图1.10隐含地给出了mec曲线，由平均成本和边际成本之间的垂直距离表示。我们将在下面看到这对于道路使用的效率意味着什么。

小结

随着越来越多的道路使用者驶入道路，行驶速度会下降，出行时间会增加，道路上行程的平均成本因而会上升。行程的边际成本因此会超过其平均成本，二者的差额以新增道路使用者对其他使用者造成的时间损失来表示，这就是边际外部成本。

1.4.3 均衡与最优

自由市场均衡

在分析完道路使用模型的需求方和供给方之后，就可以确定该市场的均衡。图1.9给出了上文例子中的相关函数。

图1.9 自由市场均衡

在没有政府干预的情况下，自由市场均衡出现在反需求函数D和平均成本函数ac的交点，此时N0=45。当低于均衡数量N0时（N0=45的左侧），一些使用者愿意支付的价格高于平均成本曲线ac给出的广义价格，因此对他们来说，使用道路是有利可图的；在N0=45的右侧，情况则恰恰相反。在N0处，广义价格和（每一）行程的平均成本等于最后进入的使用者的支付意愿。如图1.9所示，此时的价格p0=55。

有效的均衡

为了评估自由市场结果是否有效，我们首先需要确定衡量效率的恰当指标。这个指标就是社会剩余S，也就是社会总效益减去总成本。这样，帕累托有效结果就是社会剩余最大时的特定道路使用量。如果社会剩余没有达到最大（也仅在此时），道路使用量的变化显然可以使社会总成本和总效益发生变化，进而使得获益者的收益在理论上可以弥补受损者的损失。

按照对自由市场效率的标准解释，图1.9所示的均衡结果是否在经济上是有效的？答案是否定的。与标准市场模型最主要的区别在于，图1.9所示的均衡并不是mb和mc的交点，而是mb和ac的交点。我们之前已经知道，边际成本大于平均成本，它们之间的差值正好等于边际外部成本。自由市场均衡结果中的mec水平[mec（N0）]如图1.10所示，此时，在均衡时，减少行程次数会导致成本的减少量（由mc曲线显示）大于放弃的总效益量（由mb曲线显示）。也就是说，如果行程次数减少，社会剩余S=B-C就会增加。

图1.10 最优均衡和自由市场均衡的比较

道路使用的有效或最优水平是指改变行程次数不会带来社会剩余的增加，这就是令mb=mc的那点。在上述例子中，最优的行程数是N*=30。此时再减少行程次数，意味着放弃的效益量（根据mb曲线）比节约的总成本量（根据mc曲线）要多；相反，如果从N*向右移动，则增加的额外成本将超过增加的额外收益。

当行程次数从N0减少到N*时，社会剩余的增加量如阴影三角形G所示。这个三角形是由总成本的减少量（N*和N0之间mc曲线下方梯形的面积）与总收益的减少量（N*和N0之间mb曲线下方梯形的面积）之间的差额构成的。

表1.2总结了我们例子中两个均衡的一些关键特征。可以看出三角形G的面积为337.5，也就是两个均衡中的社会剩余之差。这一数值可通过计算三角形G的面积加以核实：1/2×15×45=337.5（宽度乘以高度的1/2倍）。核查表1.2给出的各类结果是一个有用的练习。

表1.2 自由市场均衡和最优均衡的关键特征

小结

拥堵道路上的自由市场均衡不是有效率的。在自由市场中，在边际效益等于平均成本时市场达到均衡。然而，经济效率要求边际效益等于边际成本。由于边际外部成本的存在，平均成本和边际成本之间有一个楔子。因此，可以通过将道路使用量减少到边际效益等于边际成本的水平来增加社会剩余，这样就可以达到最优道路使用水平。

1.4.4 总结

我们对交通拥堵进行了经济学分析。从经济学角度来看，我们可以把道路看作一个市场，有需求方、供给方，以及一个能引导两者实现均衡的机制。但是，我们已经看到，这个市场存在扭曲现象，这种现象阻碍了自由市场达到有效率的结果。

正如对任何市场做分析那样，我们可以使用需求函数分析道路上行程的需求。重要的是，现在“价格”中包含如必需出行时间等非货币成分。通过用出行时间乘以时间价值，我们将这一出行时间转化成货币等值，并将其加入其他货币成本（如燃料费等），从而得出道路使用的广义价格。

道路使用的反需求函数反映了在道路出行时获得的边际效益，而反需求函数下方的区域则衡量了使用该道路所能享有的总效益。总效益与总“广义费用”之间的差额就是消费者剩余。与它相关的一个指标是社会剩余，即社会总效益和总成本之间的差额，或者说是消费者剩余与政府剩余之和。在我们的分析中，不征税时，消费者剩余等于社会剩余，否则，两者就存在差别：支付税金仅是一种转移，税金并不构成实际的社会成本。

就供给方而言，随着越来越多的用户进入道路，行驶速度会下降，出行时间会增加，道路出行的平均成本随之增加。因此，行程的边际成本超过平均成本。这种差异是由新增使用者给其他使用者带来的时间损失造成的。这类成本被称为边际外部成本。

结果，自由市场均衡是没有效率的。在自由市场中，边际效益等于平均成本。然而，经济效率要求边际效益等于边际成本。在平均成本和边际成本之间存在着一个楔子，它是边际外部成本造成的。因此，通过减少道路使用，使边际效益和边际成本相等，可以提高社会剩余。这一道路使用水平被称为最优道路使用水平。