1.3 塑性变形的力学基础

金属塑性成形时，外力通过模具或其他工具作用在坯料上，使其内部产生应力，并且发生塑性变形。由于外力的作用状况、坯料的尺寸与模具的形状千差万别，从而引起材料内各点的应力与应变也各不相同。因此需要研究变形体内各点的应力状态、应变状态及产生塑性变形时各应力之间的关系与应力应变之间的关系。

1.3.1 点的应力与应变状态

在变形物体上任意点取一个微量六面单元体，该单元体上的应力状态可取其相互垂直表面上的应力来表示，沿坐标方向可将这些应力分解为 9个应力分量，其中包括 3个正应力和6个切应力，如图1.4（a）所示。相互垂直平面上的切应力互等，τxy=τyx，τyz=τzy，τzx=τxz。改变坐标方位，这 6 个应力分量的大小也跟着改变。对任何一种应力状态，总是存在这样一组坐标系，使得单元体各表面上只有正应力而无切应力，如图 1.4（b）所示。这 3个坐标轴就称为应力主轴，3个坐标轴的方向称主方向，作用面称为主平面，其上的正应力即主应力。

3 个主方向上都有应力存在称为三向应力状态，如宽板弯曲变形。但大多数板料成形工艺，沿料厚方向的应力σt与其他两个互相垂直方向的主应力（如径向应力σr与切向应力σθ）相比较，往往很小，可以忽略不计，如拉深、翻孔和胀形变形等，这种应力状态称为平面应力状态。3 个主应力中只有一个有值时，称为单向应力状态，如板料的内孔边缘和外形边缘处常常是自由表面，σr、σt为零。

与主平面成 45°截面上的切应力达到极值时，称为主切应力。σ1≥σ2≥σ3时，最大切应力为τmax=±(σ1−σ3)/2，最大切应力与材料的塑性变形关系很大。

应变也具有与应力相同的表现形式。单元体上的应变也有正应变与切应变，当采用主轴坐标时，单元体6个面上只有3个主应变分量ε1、ε2和ε3，而没有切应变分量。塑性变形时，物体主要发生形状的改变，体积变化很小，可忽略不计，即

此即为塑性变形体积不变定律。它反映了3个主应变值之间的相互关系。根据体积不变定律可知：塑性变形时只可能有三向应变状态和平面应变状态，而不可能有单向应变状态。在平面应变状态时（若ε2=0），另外两个应变的绝对值必然相等，而符号相反。

1.3.2 屈服准则（塑性条件）

当物体受单向应力作用时，只要其主应力达到材料的屈服极限，该点就进入塑性状态。而对于复杂的三向应力状态，就不能仅根据某一个应力分量来判断该点是否达到塑性状态，而要同时考虑其他应力分量的作用。只有当各个应力分量之间符合一定的关系时，该点才开始屈服，这种关系就称为塑性条件，或称屈服准则。

工程上经常采用屈服准则通式来判别变形状态：

式中，σ1、σ3、σs分别为最大、最小主应力、坯料的屈服应力。β为应力状态系数，其值在1.0～1.155范围内。单向应力状态及轴对称应力状态（双向等拉、双向等压）时，取β =1.0；平面变形状态时，取β =1.155。在应力分量未知情况下，β 可取近似平均值1.1。

1.3.3 塑性变形应力与应变的关系

物体在弹性变形阶段，应力与应变之间的关系是线性的，与加载历史无关。而塑性变形时应力应变关系则是非线性的、不可逆的，应力应变不能简单叠加，图 1.5 所示为材料单向拉伸时应力应变曲线。塑性应力与应变增量之间的关系式，即增量理论，其表达式如下：

其中，，上式可以表达为

如果在加载过程中，所有的应力分量均按同一比例增加，这种状况称为简单加载，在简单加载情况下，应力应变关系得到简化，得出全量理论公式，其表达式为

其中，

下面举两个简单的利用全量理论分析应力应变关系的例子。

（1）ε2=0时，称平面应变，由式（1.4b）可得出。宽板弯曲属于这种情况。

（2）σ1＞0，且σ2=σ3=0时，材料受单向拉应力，由式（1.4b）可得ε1＞0,，即单向拉伸时拉应力作用方向为伸长变形，其余两方向上的应变为压缩变形，且变形量为拉伸变形的，翻孔变形材料边缘属此类变形。

1.3.4 硬化现象和硬化曲线

金属材料在常温下塑性变形的重要特点之一是加工硬化，其结果是引起材料力学性能的变化，表现为材料的强度指标（屈服强度σs与抗拉强度σb）随变形程度的增加而增加；塑性指标（伸长率δ与断面收缩率ψ）随变形程度的增加而降低。加工硬化既有不利的方面——使进一步变形变得困难；又有有利的方面——板料硬化能够减小过大的局部变形，使变形趋于均匀，增大成形极限，同时也提高了材料的强度。因此，在进行变形应力分析和确定各种工艺参数时，应考虑加工硬化的影响。

冷变形时材料的变形抗力随变形程度的变化情况可用硬化曲线表示。一般可用单向拉伸或压缩试验方法得到材料的硬化曲线。图1.6所示为几种常用冲压板材的硬化曲线。

为了使用方便，可将硬化曲线用数学函数式来表示。常用的数学函数的幂次式如下：

式中，K、n均为材料常数，n称为材料的硬化指数，是表明材料冷变形硬化性能的重要参数，部分冲压板材的K、n值列入表1.4中。

冲压变形的趋向性：冲压毛坯的多个部位都有变形的可能时，变形在阻力最小的部位进行，即“弱区必先变形”。

下面以缩口为例加以分析（见图1.7）。缩口时坯料可分为3个区域。在外力作用下，A、B两区都有可能发生变形，A区可能会发生缩口塑性变形；B 区可能会发生镦粗变形，这两个区域总有一个需要比较小的塑性变形力，并首先进入塑性状态，产生塑性变形。因此，可以认为这个区域是个相对的弱区。为了保证冲压过程的顺利进行，必须保证应该变形的部分——变形区成为弱区，以便在把塑性变形局限于变形区的同时，排除传力区产生任何不必要的塑性变形的可能。

“弱区必先变形，变形区应为弱区”的结论，在冲压生产中具有很重要的实用意义，例如，有些冲压工艺的极限变形参数（拉深系数、缩口系数等）的确定，复杂形状零件的冲压工艺过程设计等，都是以这个道理作为分析和计算的依据。

下面仍以缩口为例来说明这个道理。在图1.7所示的缩口过程中，变形区A和传力区B的交界面上作用有数值相等的压应力σ，传力区 B 产生塑性变形的方式是镦粗，其变形所需要的压应力为σs，所以传力区不致产生镦粗变形的条件是

变形区A产生的塑性变形方式为切向收缩的缩口，所需要的轴向压应力为σk，所以变形区产生缩口变形的条件是

由式（1.6）与式（1.7）可以得出在保证传力区不致产生塑性变形的条件下能够进行缩口的条件是

因为σk的数值决定于缩口系数d/D，所以式（1.8）就成为确定极限缩口系数的依据。极限拉深系数的确定方法，也与此相类似。

此外，在设计工艺过程、选定工艺方案、确定工序和工序间尺寸时，也必须遵循“弱区必先变形，变形区应为弱区”的道理。