2.1.2 二进制与其他进制

除了二进制外，实际上还有许多不同的进制，例如我们日常生活中经常用到的十进制。对于一个进制而言，首先需要确定每个数位的取值范围及进位规则，例如，对于十进制，我们使用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个符号来表示每个数位上的取值范围，并规定0+1=1，1+1=2，2+1=3，…，8+1=9，而对于某些运算，例如9+1，则规定其结果为0，并且需要进位（即逢十加一）。同时，每个数的位置也表明了其意义，例如，对于十进制数字2019.08，其中的2表示的是2个千，而最后一个8则表示的是8个百分之一。

一般地，任意一个十进制数

D=d_nd_n-1…d₁d₀.d_-1d_-2…d_-m（m、n为正整数）

其值可以表示为如下形式：

V（D）=d_n×10n+d_n-1×10n-1+…+d₁×101+d₀×100+d_-1×10-1+d_-2×10-2+…+d_-m×10-m

其中的d_i（i=n，n-1，…，1，0，-1，-2，…，-m）可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字符号中的任何一个，10称为基数（base），它代表每个数位上可以使用的不同数字符号的个数。10i称为第i位上的权。在用十进制数进行运算时，每位计满10就要向高位进一。

类似地，二进制数的基数是2，只使用两个不同的数字符号0和1，运算时采用“满二进一”的原则，即规定0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=0并且需要进位。例如，对于一个二进制数（1011.01）₂，其对应的数值是1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2=11.25。

一般地，任意一个二进制数

B=b_nb_n-1…b₁b₀.b_-1b_-2…b_-m（m、n为正整数）

其值可以表示为如下形式：

V（B）=b_n×2n+b_n-1×2n-1+…+b₁×21+b₀×20+b_-1×2-1+b_-2×2-2+…+b_-m×2-m

其中的b_i（i=n，n-1，…，1，0，-1，-2，…，-m）只能是0、1中的一个。

扩展到一般情况，在R进制数字系统中，需要有R个基本符号来表示各位上的数字，采用“满R进一”的运算规则，对于每一个数位i，该位上的权为Ri。R被称为该数字系统的基数。

任意一个R进制数

R′=r_nr_n-1…r₁r₀.r_-1r_-2…r_-m（m、n为正整数）

其值可以表示为如下形式：

V（R′）=r_n×Rn+r_n-1×Rn-1+…+r₁×R1+r₀×R0+r_-1×R-1+r_-2×R-2+…+r_-m×R-m

其中的r_i（i=n，n-1，…，1，0，-1，-2，…，-m）只能是R个基本符号中的一个。

在计算机系统中的常用进位计数制有下列几种。

• 二进制R=2，基本符号为0和1。

• 八进制R=8，基本符号为0、1、2、3、4、5、6、7。

• 十进制R=10，基本符号为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

• 十六进制R=16，基本符号为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A或a、B或b、C或c、D或d、E或e、F或f。

表2-1列出了这4种进位计数制之间的对应关系。

从表2-1中可以看出，十六进制的前10个数字与十进制的前10个数字相同，十六进制的后6个基本符号A、B、C、D、E、F的值分别为十进制的10、11、12、13、14、15。

在书写时可以使用后缀字母标识该数的进位计数制。一般用B（Binary）表示二进制，用O（Octal）表示八进制，用D（Decimal）表示十进制（一般可以省略，即默认状态为十进制），用H（Hexadecimal）表示十六进制。

在编写代码时，其表示规则又有所不同。下面以C语言为例进行说明。

十进制数不需要任何说明，但要求数字部分只能是0～9，且不能以0开头。

八进制数由0～7八个数字组成，使用时必须以数字0开头。

十六进制由数字0～9、字母A～F或a～f（不区分大小写）组成，使用时必须以0x或0X（不区分大小写）开头。

二进制由数字0和1组成，使用时必须以0b或0B（不区分大小写）开头。

值得注意的是，标准C规范中对八进制、十进制与十六进制的表示方法进行了说明，而二进制的表示方法并不是标准C的规范，对某些编译器进行扩展才能够支持。例如：Visual C++6.0与Visual Studio 2010不支持，但Visual Studio 2015支持；GCC 3.4.5不支持，但GCC 4.8.2支持。