1.1.1 量化金融及其发展历史

量化金融就是使用数学模型来帮助我们理解和预测金融市场的行为。这听起来可能很抽象，但我们可以通过它的发展历史来了解它是如何为投资者解决实际问题的。

在20世纪早期，尽管金融市场已经存在了一段时间，但大多数的交易决策都是基于直觉和经验。这种方法虽然有时有效，但也容易受到情绪的影响，导致非理性的决策。于是，一些先驱者开始尝试使用数学和统计方法来帮助他们更好地理解市场。

例如，1952年，Harry Markowitz为了解决如何将资金分配到不同的投资中以达到最佳的风险收益比，提出了现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory,MPT）。简而言之，他建议不要将所有的资金投入同一资产中，而是要分散投资，以减少风险。这种思想听起来似乎不是很直观，但Markowitz给出了一个明确的数学模型来描述这一点。

其中，Rp为投资组合的预期收益，wn为资产n在投资组合中的权重，E(Rn)为资产n的预期收益。投资组合的方差（一个风险的度量）计算公式为：

其中， Cov( Ri , R j )为资产i和资产j之间的协方差，它衡量的是两个资产价格变化之间的关系。如果两个资产的价格通常朝相反的方向移动（一个上涨时另一个下跌），它们的协方差会是负数，这意味着组合这两个资产可以减少投资组合的整体风险。对于只有两个资产的投资组合，协方差是关键。但在现实中，投资组合通常包含许多资产，这时协方差矩阵就起到了关键作用，这个矩阵包含了组合中所有资产之间的协方差。

进入20世纪60年代，William Sharpe带来了资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model,CAPM），这是一个帮助投资者理解资产收益率与市场整体收益率之间关系的工具。CAPM的核心公式为：

其中，E(Ri)为资产i的预期收益；Rf为无风险利率，通常可以用短期政府债券的收益率作为参考；E(Rm)为市场的预期收益，可以用一个广泛的市场指数（如S&P 500）的预期收益率作为参考。 βi为资产i的Beta系数，它衡量的是资产i的系统风险。简单来说，如果β 1i=，那么资产i的预期收益将完全与市场同步；如果β 1i>，则资产i的收益将比市场更加波动；如果β 1i<，则资产i的收益将相对市场更加稳定。这为投资者提供了一个评估资产的风险相对于其潜在收益的方式。Beta系数可以通过以下公式计算。

其中， Cov( Ri , Rm )为资产i与市场收益之间的协方差， Var( Rm )为市场收益的方差。

到了20世纪70年代，Fischer Black和Myron Scholes提出了著名的Black-Scholes模型，为期权定价带来了一场革命。期权交易在当时非常流行，但如何公正地为期权定价却是一个大难题。Black和Scholes为此提供了一个解决方案，他们的模型可以基于一系列的变量来预测期权的价值，如资产的当前价格、期权的到期日期和预期的市场波动率。

其中，C为看涨期权价值，S0为资产当前价格，K为期权执行价格，e为自然对数的基数，N为正态分布函数，d1和d2为公式中的变量。

Black-Scholes模型是期权定价理论中的里程碑。由于这个模型的重要性和影响，Myron Scholes和Robert C. Merton（他进一步发展了该模型）在1997年被授予诺贝尔经济学奖。值得注意的是，尽管Fischer Black是该模型的共同创作者，但由于他在1995年去世，因此没有与Scholes和Merton一同获得奖项。诺贝尔奖通常不授予已故的候选人。

Black-Scholes模型为期权和其他衍生品的公平定价提供了一个明确的数学公式。这一模型特别突出，因为在那个时候，衍生品市场还处于发展初期，缺乏一个统一的定价方法。此模型提供了一个系统性的方式来估计一个期权的“公平”价格，从而使交易者、投资者和风险管理者都能在一个公认的框架下操作。

Black-Scholes模型的成功引发了衍生品市场的巨大增长，同时也促进了金融工程学科的发展。

随着时间的推移，量化金融不仅局限于理论研究，而且开始广泛应用于实际投资策略，特别是在对冲基金中。比如，到了20世纪80年代，量化金融开始广泛应用于实际投资，许多对冲基金开始使用量化策略来寻求Alpha收益。20世纪90年代以后，计算机技术的发展和数据获取的便利为量化金融提供了强大的支持，机器学习和大数据分析也开始在这个领域中发挥作用，帮助投资者更精确地预测市场的行为。

综上所述，量化金融不仅提供了对金融市场的深入理解，还为投资者带来了实用的工具和策略，帮助他们在复杂的市场环境中做出明智的决策。