第2章振动力学基础

2.1 多自由度系统的振动

2.1.1 多自由度系统的动力学方程

具有一个以上自由度、需要有限个独立坐标描述的振动系统为多自由度系统。对于多自由度系统，采用分析力学方法更便于得到动力学方程的普遍形式。

以n个广义坐标q_i（i=1,2,…,n）表示n自由度系统的位形。系统的势能V（q₁,q₂,…,q_n）为广义坐标的函数，在平衡位置处满足：

将广义坐标的零值取在系统的平衡位置，当系统在平衡位置附近做微振动时，广义坐标及其导数均为小量。设平衡位置处的势能V取零值，系统受定常约束。平衡位置附近的势能V和动能T为

式中，系数k_ij（i,j=1,2,…,n）均为常值；m_ij（i,j=1,2,…,n）为广义坐标的函数。两者定义为

显然有k_ij=k_ji、m_ij=m_ji，下标0表示在平衡位置处取值。由于系统的振动只能在稳定平衡位置附近发生，所以势能V为广义坐标的正定二次型，动能T为广义速度的正定二次型。

引入广义坐标列阵q=（q_j）、质量矩阵M=（m_ij）和刚度矩阵K=（k_ij），用矩阵表示：

式中，质量矩阵M和刚度矩阵K均为n阶对称正定方程。

设Q_i是广义坐标q_i（i=1,2,…,n）对应的非保守广义力，L=T-V为拉格朗日函数，拉格朗日第二类方程的一般形式为

将式（2-2）代入拉普拉斯方程，导出多自由度系统的动力学方程组：

动力学方程式（2-6）可写成矩阵形式：

式中，Q=（Q_i）为非保守力构成的列阵。

动力学方程组式（2-7）表示弹性恢复力-Kq、惯性力-与非保守力Q的平衡。刚度矩阵的元素k_ij称为刚度影响系数，可理解为使系统仅产生沿q_j坐标的单位位移时，必须施加与q_i坐标对应的广义力。

将动力学方程式（2-7）各项左乘K的逆阵K^-1，化作

式中，F为系统的柔度矩阵，F=K^-1，其元素f_ij（i，j=1，2，…，n）为柔度影响系数，可理解为对系统仅施加与q_j坐标对应的单位广义力时，沿q_i坐标所产生的位移；D为系统的动力矩阵，D=FM。

柔度矩阵也是对称矩阵，它与刚度矩阵互为逆阵，若刚度矩阵正定，则柔度矩阵也正定。但动力矩阵D通常不是对称矩阵。

2.1.2 多自由度系统的自由振动

1.固有频率

无外力作用的多自由度系统受到初始扰动后，即产生自由振动。将广义坐标列阵q改用x=（x_j）表示，保守力Q=0时的动力学方程为

将此方程的特解写为矩阵形式：

式中，A为各坐标振幅组成的n阶列阵，A=（A_j）。

将式（2-10）代入式（2-9），化作矩阵K和M的广义本征值问题：

A有非零解的充分与必要条件为系数行列式等于零：

展开后得到ω²的n次代数方程，即系统的本征方程：

对于平衡状态稳定的正定系统，各坐标只能在平衡位置附近做微幅简谐振动。式（2-13）存在ω²的n个正实根，即系统的本征值。每个本征值所对应的ω_i（i=1,2,…,n）为系统的n个固有角频率。多自由度有多个固有频率，其中的最低固有频率称为系统的基频。

2.模态分析与模态参数

满足式（2-11）的非零n阶列阵A也可视为n维向量，称为系统的本征向量。每个本征值对应于各自的本征向量A^（ⁱ^），n个本征向量均满足

由于式（2-12）的存在，式（2-14）的各式线性相关。当不是本征方程的重根时，式（2-14）中只有一个不独立方程。不失一般性，将最后一个方程除去，且将A^（ⁱ^）的最后一个元素的有关项移至等号右端，化作

设此方程组左端的系数行列式不等于零，将方程组右端的的值取作1，解出n-1个解（j=1，2，…，n-1）记作（j=1，2，…，n-1），则第i固有频率ω_i对应的自由振动幅A^（ⁱ^）为

式中，=1（i=1，2，…，n）。

系统按第i固有频率ω_i所做的振动称为系统的第i阶主振动，写作

式中，α_i、θ_i为任意常数，取决于初始运动状态；列阵ϕ^（ⁱ^）表示系统做第i阶主振动时，各坐标振幅的相对比值。此相对比值完全由系统的物理性质确定，与初始运动状态无关，称为系统的第i阶模态，或第i阶主振型。

引入参数M_p_i和K_p_i，令

将模态正交性用克罗内克符号δ_ij综合为

M_p_i和K_p_i分别称为第i阶主质量和第i阶主刚度。将各阶模态ϕ^（ⁱ^）（i=1，2，…，n）组成模态矩阵Φ：

则根据模态的正交性条件式（2-19）导出

式中，M_p和K_p分别为主质量M_p_i和主刚度K_p_i（i=1,2,…,n）排成的对角阵。

3.模态叠加法

系统的任意n维自由振动可唯一表示为各阶模态的线性组合：

将式（2-22）与式（2-17）对照，也可认为是将系统的振动表示为n阶主振动的叠加。这种分析方法称为模态叠加法。式中x_p_i（i=1,2,…,n）是描述系统运动的另一类广义坐标，称为主坐标，各阶主坐标组成的列阵x_p为主坐标列阵，为

则式（2-23）可利用模态矩阵Φ表示为

由于Φ的各列线性独立，Φ为非奇异阵，其逆阵Φ^-1必存在。将式（2-24）代入动力学方程式（2-9），令各项左乘Φ^T，并利用式（2-21）导出：

动力学方程式（2-25）为完全解耦的方程组，相当于n个独立的单自由度系统动力学方程：

各方程的解是以ω_i为固有频率的各阶主振动：

再利用式（2-24）变换为原坐标，即得到系统的自由振动规律。将式（2-24）代入系统的动能和势能式（2-4），并利用式（2-21）化简，得到

以上两式表明，系统的动能或势能等于系统单独存在各阶主振动时的动能或势能之和。每一阶主振动的动能和势能在内部进行交换，总和保持常数。不同阶的主振动之间不发生能量交换，模态正交性的物理意义由此得到解释。

4.模态截断法

在实际问题中，对于自由度n很大的系统，有时只要求计算较低的前r（r＜n）阶固有频率和模态，以近似分析系统的自由振动和受迫振动。这种近似方法称为模态截断法。为此，将前r阶模态ϕ^（ⁱ^）（i=1，2，…，n）组成n×r阶的截断模态矩阵：

类似于式（2-18），建立截断的主质量矩阵和主刚度矩阵：

式中，和分别为前r个主质量和主刚度排成的r阶对角阵。

将系统的任意n阶振动近似地表示为截断后的r阶模态的线性组合：

式中，为截断后的坐标列阵：

因此，利用模态截断法可将n自由度系统原有的n个坐标变换成较少的前r个主坐标。将式（2-32）代入式（2-9），令各项左乘Φ^*^T，并利用式（2-31）导出完全解耦的前r个主坐标的动力学方程：

2.1.3 多自由度系统的响应

1.系统对简谐激励的响应

多自由度系统在周期性激励作用下产生的运动称为受迫振动。设n自由度系统沿各个广义坐标受到频率和相位相同的简谐广义力的激励。将式（2-7）中的广义坐标列阵写作x，右项以F₀eⁱ^ωt代入，得到系统的受迫振动方程：

式中，x为复数列阵，其实部或虚部为实际的广义坐标，分别受到余弦或正弦激励的响应；ω为激励频率；F₀为广义激励力的幅值：

设式（2-35）的特解为

式中，X为各复数广义坐标的受迫振动复振幅组成的列阵：

将式（2-38）代入式（2-35），导出

对式（2-39）作逆运算，将K-ω²M的逆矩阵记作H=（H_ij），称之为多自由度系统的复频响应矩阵，其为激励频率ω的函数：

由式（2-37）、式（2-39）及式（2-40）可得

工程中，将K-ω²M称为系统的阻抗矩阵或动刚度矩阵；其逆矩阵H为复频响应矩阵，也称为导纳矩阵。式（2-41a）沿第i广义坐标的投影式为

根据式（2-42），矩阵H的元素H_ij等于仅沿第j坐标作用频率为ω的单位幅度简谐力时，沿第i坐标所引起的受迫振动的复振幅，因此H也称为动柔度矩阵。工程中常利用实验方法测出H_ij。由于H含有因子|K-ω²M|^-1，而|K-ω²M|^-1为系统的频率方程，所以激励频率ω接近系统的任何一个固有频率时都会使受迫振动的振幅无限增大而引起共振。受迫振动的相位取决于列阵HF₀各元素的符号：正号与激励同相，负号与激励反相。