3.4　名校考研真题详解

一、名词解释

1．收入—消费曲线（income-consumption curve）[山东大学2016、2007研；北邮2007研；厦门大学2006研；中国人民大学2000研]

答：收入—消费曲线是指在消费者的偏好和商品的价格不变的条件下，与消费者的不同收入水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。以图3-15来具体说明收入—消费曲线的形成。

图3-15  收入—消费曲线

在图3-15（a）中，随着收入水平的不断增加，预算线由AB移至A′B′，再移至A″B″，于是，形成了三个不同收入水平下的消费者效用最大化的均衡点E₁、E₂和E₃。如果收入水平的变化是连续的，则可以得到无数个这样的均衡点的轨迹，这便是图3-15（a）中的收入—消费曲线。图3-15（a）中的收入—消费曲线是向右上方倾斜的，它表示：随着收入水平的增加，消费者对商品1和商品2的需求量都是上升的，所以，图3-15（a）中的两种商品都是正常品。

在图3-15（b）中，采用与图3-15（a）中相类似的方法，随着收入水平的连续增加，描绘出了另一条收入—消费曲线。但是图3-15（b）中的收入—消费曲线是向后弯曲的，它表示：随着收入水平的增加，消费者对商品1的需求量开始是增加的，但当收入上升到一定水平之后，消费者对商品1的需求量反而减少了。这说明，在一定的收入水平上，商品1由正常品变成了劣等品。在日常经济生活中能找到这样的例子。譬如，对某些消费者来说，在收入水平较低时，土豆是正常品；而在收入水平较高时，土豆就有可能成为劣等品。因为，在他们变得较富裕的时候，他们可能会减少对土豆的消费量，而增加对其他食物的消费量。

2．消费者剩余[中央民族大学2015研；华东理工大学2015研；中央财大2013、2010研；北大2010研；南开大学2009、2005研；财政部财科所2008研；华中科大2007研；南京大学2007研；上海财大2007研；对外经贸大学2007研；厦门大学2007、2006研；中山大学2006、2005研]

答：消费者剩余是指消费者愿意支付的价格与其实际支付的价格之间的差额。消费者剩余的产生是由于不同消费者对同一种商品的不同数量评价不同，因此他们对这种商品的不同数量所愿意做出的最大支付也就不同。在厂商不能对消费者索取差别性价格的条件下，决定市场价格的是边际购买者（或边际购买量），他正是对这一产品评价最低的消费者。这样，那些非边际购买者（或边际购买量）就可以获得额外的“津贴”，这就产生了消费者剩余。

若某产品需求函数为P=D（x），P₁和X₁分别代表成交价格和成交量，则从x=0到x=X₁时, 是消费者愿意支付的数额，P₁X₁为实际支付的数额，于是消费者剩余（用CS表示）为：。

3．无差异曲线[中国地质大学2015研；广东外语外贸大学2015研；厦门大学2014研；深圳大学2013研；北邮2008研；华中科大2007研；中央财大2007研；北京交通大学2007研；西安交大2006研；武汉大学2005研]

答：无差异曲线是指用来表示消费者偏好相同的两种商品的不同数量的各种组合的一簇曲线。或者说，它是表示能给消费者带来同等效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的各种组合。无差异曲线可以表示为图3-16。

图3-16  无差异曲线

无差异曲线具有如下特点：①由于通常假定效用函数的连续性，于是，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，存在着无数条无差异曲线。或者说，可以有无数条无差异曲线覆盖整个坐标平面图。离原点越近的无差异曲线所代表的效用水平越低，离原点越远的无差异曲线所代表的效用水平越高。②在同一坐标平面上的任意两条无差异曲线不会相交。③无差异曲线总是凸向原点的。这一特点是由商品的边际替代率递减规律所决定的。

4．消费者均衡（equilibrium of the consumer）[南京财经大学2015研；对外经贸大学2014研；东北财大2012、2007研；中国政法大学2005研；人大2005、2001研；中南财大2004研；东南大学2002研；中国海洋大学2001研]

答：（1）消费者均衡是指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态。其研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件。这里的均衡指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的一种相对静止的状态。

（2）对于基数效用论者，消费者实现效用最大化的均衡条件是：如果消费者的货币收入水平是固定不变的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等。或者说，消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等，即MU/P=λ，其中λ为货币的边际效用。

（3）序数效用论者把无差异曲线和预算线结合在一起说明消费者的均衡。任何一个理性的消费者在用一定的收入购买商品时，其目的是为了从中获得尽可能大的消费满足。消费者偏好决定了消费者的无差异曲线，一个消费者的关于任何两种商品的无差异曲线簇可以覆盖整个坐标平面；消费者的收入和商品的价格决定了消费者的预算线，在收入既定和商品价格已知的条件下，一个消费者关于两种商品的预算线只能有一条。那么，当一个消费者面临一条既定的预算线和无数条无差异曲线时，只有既定的预算线和其中一条无差异曲线的相切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点，此时满足MRS₁₂=P₁/P₂。

5．边际效用递减规律[中国地质大学2015研；财政部财科所2013研；中南财大2009研；人大2002研；中国海洋大学2000研]

答：边际效用递减规律是指在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的。用公式表示为。例如，在一个人饥饿的时候，吃第一个包子给他带来的效用是很大的。以后，随着这个人所吃的包子数量的连续增加，虽然总效用是不断增加的，但每一个包子给他所带来的效用增量即边际效用却是递减的。当他完全吃饱的时候，包子的总效用达到最大值，而边际效用却降为零。如果他还继续吃包子就会感到不适，这意味着包子的边际效用进一步降为负值，总效用也开始下降。边际效用递减规律是基数效用论的基本定律，又称戈森第一定律。导致边际效用递减的原因，主要是随着商品数量的增加，由于人们生理、心理作用的影响，商品对人们的刺激力和重要程度都有下降的趋势。

6．边际替代率[山东大学2015研；浙江理工大学2015研]

答：边际替代率（），即无差异曲线的斜率，是指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要放弃的另一种商品的消费数量。商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：

其中，、分别为商品1和商品2的变化量。如果商品数量的变化趋于无穷小，那么，边际替代率就是无差异曲线的斜率。因此，求无差异曲线上任何一点的边际替代率，只要过该点作切线，这条切线的斜率的绝对值就是该点的边际替代率。

边际替代率具有递减的性质，边际替代率递减是指在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。之所以会普遍发生商品的边际替代率递减的现象，其原因在于：随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。

由于商品的边际替代率就是无差异曲线的斜率的绝对值，所以，边际替代率递减规律决定了无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，即无差异曲线是凸向原点的。

7．显示偏好[厦门大学2015研；中央财大2007研；华东理工大学2006研]

答：显示偏好是P·萨缪尔森于1948年在《用显示性的偏好论述的消费理论》一文中提出的研究需求理论的一种方法。通过观察消费者的购买行为（如何对价格和收入的变化做出反应）推测人们的偏好。在通常的消费者理论中，偏好（或效用函数）起着中心的作用，但它是与人们内心活动有关的心理概念，故往往被人们认为这是消费者理论的缺陷，同时无差异曲线无法表达多种商品的选择问题。显示性偏好理论只是依赖于实际观察到的消费者的购买行为，避免了使用先验的效用概念。只要消费者满足显示偏好的基本公理，就可以得到消费者的无差异曲线及需求函数的一些重要性质，如需求函数的唯一性、零次齐次性及斯勒茨基方程中替代项的负性。然而，消费者不符合这些公理，因此其行为是矛盾的、不合理的，也不可能通过观察消费者行为得到无差异曲线。显示偏好公理分为一般性公理、弱公理和强公理，这些公理保证了显示偏好的可传递性，以保证推出一条需求曲线。

显示偏好的定义为：设（x₁，x₂）是消费者在收入为m时按价格（P₁，P₂）购买的商品束，消费者用完所有的收入，因此有等式形式的预算约束P₁x₁+P₂x₂=m。又设（y₁，y₂）是在收入既定条件下有能力购买的商品束，这意味着它满足不等式预算约束：P₁x₁+P₂x₂≥P₁y₁+P₂y₂,即：P₁y₁+P₂y₂≤m。如果这一不等式成立，且（y₁，y₂）确实是不同于（x₁，x₂）的商品束，就称（x₁，x₂）是（y₁，y₂）的直接显示偏好。

显示偏好的一般性公理是指如果商品束X是选择的商品束，Y是能够购买的商品束，X被显示偏好于Y，则Y不能被直接显示严格偏好于X。这表示消费者总是在他能够购买的商品束中选择他最偏好的商品。

8．补偿预算线[国际关系学院2014研；西南大学2012研；华中科大2006研；人大2004研]

答：补偿预算线是用来表示当商品的价格发生变化引起消费者的实际收入水平发生变化时，用假设的货币收入的增减来维持消费者的实际收入水平不变的一种分析工具。具体来说，在商品价格下降引起消费者的实际收入水平提高时，假设可以取走消费者的一部分货币收入，以使消费者的实际收入下降到只能维持原有的无差异曲线的效用水平（即原有的实际收入水平）这一情况。相反，在商品价格上升引起消费者实际收入水平下降时，假设可以对消费者的损失给予一定的货币收入补偿，以使消费者的实际收入维持原有的水平，则补偿预算线就可以用来表示消费者的货币收入提高到得以维持原有的无差异曲线的效用水平（即原有的实际收入水平）这一情况。

9．吉芬品（Giffen Goods）[中南财大2013研；北京理工大学2012研；中央财大2007研；西安交大2006研]与劣等品（Inferior Goods）[南京大学2007研；上海交大2007研]

答：（1）吉芬品是随着价格下降，其需求量也下降，即需求量与价格同方向变化的商品。吉芬品是一种特殊的劣等品。作为劣等品，吉芬品的替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应与价格呈同方向的变动。其特殊性在于：它的收入效应的作用大于替代效应的作用，从而总效应与价格呈同方向的变动，这样使得吉芬品的需求曲线向右上方倾斜。

（2）劣等品指需求量随收入变化而呈反方向变化，收入增加，其需求量反而减少的商品。对于劣等品来说，替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应与价格呈同方向的变动。而且，一般情况下，收入效应的作用小于替代效应的作用，从而总效应与价格呈反方向的变动，这样使得其需求曲线向右下方倾斜。但是，在少数的场合，某些低档物品的收入效应的作用会大于替代效应的作用，于是，就会出现违反需求曲线向右下方倾斜的现象。这类物品即吉芬品。

二、简答题

1．简述无差异曲线及其特点。[北师大2016研；华中科大2016、2007研；中南财大2001研]

答：（1）无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。或者说，它是表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品的所有组合。相对应的效用函数为：U=f（x₁,x₂），其中x₁和x₂分别是商品1和商品2的数量。如图3-17所示，横轴与纵轴分别代表A、B两种商品，它们有四种不同的组合，其坐标点分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。Ⅰ表示由1个单位A商品与6个单位B商品组合；Ⅱ表示由2个单位A商品与3个单位B商品组合等等。连接Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形成的曲线L便是无差异曲线。

图3-17  无差异曲线

（2）无差异曲线具有以下三个基本特点：①由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。所有这些无差异曲线之间的相互关系是：离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。②在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交。图3-18中，两条无差异曲线相交于a点，这种画法是错误的。其理由在于：根据无差异曲线的定义，由无差异曲线I₁可得a、b两点的效用水平是相等的，由无差异曲线I₂可得a、c两点的效用水平是相等的。于是，根据偏好可传递性的假定，必定有b和c这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图中b和c这两点的商品组合，可以发现c组合中的每一种商品的数量都多于b组合，于是，根据偏好的非饱和性假定，必定有c点效用水平大于b点的效用水平。这样一来，矛盾产生了，该消费者在认为b点和c点无差异的同时，又认为c点要优于b点，这就违背了偏好的完全性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交的画法是错误的。③无差异曲线是凸向原点的。这就是说，无差异曲线不仅向右下方倾斜，即无差异曲线的斜率为负值，而且，无差异曲线是以凸向原点的形状向右下方倾斜的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。这取决于商品的边际替代率递减规律。

图3-18  违反偏好假定的无差异曲线

2．当消费者的收入或商品的价格发生变化时，无差异曲线本身是否会发生变化？[中南财大2016研；清华大学2003研]

答：（1）无差异曲线是用来表示消费偏好相同的两种商品的所有组合的，或者说它是表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的各种组合的。相对应的效用函数为：U=f（x₁,x₂），其中x₁和x₂分别是商品1和商品2的数量。

（2）当消费者的收入或商品的价格发生变化时，无差异曲线本身是不发生变化的。因为收入或商品的价格发生变化时，给消费者带来相同效用水平的各种组合并未发生改变，也就是说，相同效用水平的各种组合中包含的商品1和商品2的数量没有变化，所以无差异曲线不会变化。

（3）当消费者的收入或商品的价格发生变化时，消费者的预算线会发生变化，从而引起消费者的最优消费束发生相应的变化。

3．消费者行为理论的三个假设公理是什么？[中国青年政治学院2014研；中央财大2012研；武汉大学2003研]

答：根据消费者偏好某一个商品组合，而不喜欢另一种商品组合，以及消费者对其所消费的商品组合间的关系的安排，西方经济学者提出了三个基本的假设。这些假设被称为消费者行为公理。

（1）完备性或顺序性。消费者总是有能力将多种商品的组合，按照其偏好大小而顺序排列和比较。

在这一公理的假设下，消费者对任何两组商品A与B，必须有能力辨别其偏好A优于B，或B优于A，或两者偏好相同，且此三者中只有一种状况能成立。

（2）传递性。假如某消费者面临A、B和C三个商品组合，消费者在商品组合A和B之间更偏好A，在B和C之间更偏好B，则该消费者在A和C之间就更偏好A。

在这一公理的假设下，消费者的偏好具有传递性。例如，某甲偏好西瓜优于香蕉，且偏好香蕉优于橘子，则判断某甲偏好西瓜优于橘子。

（3）非饱和性。在非饱和状态时，消费者对越多的物品偏好越大，即消费数量越多，所获满足越大。

在这一公理的假设条件下，若消费者达到饱和状态或超饱和状态（厌恶）时，消费者不愿再消费，否则他一定不是有理性的人。一般所设定的假定是未达饱和状态前所做的分析。

以上三个公理性假设构成了现代消费者行为理论的基础。它们并没有阐明消费者偏好本身，但的确使得这些偏好具有某种程度的合理性。

4．试述基数效用论与序数效用论的区别与联系。[北京交通大学2014研；人大2000研]

答：（1）联系

①都是从市场的需求一方着手，通过推导需求曲线，说明需求曲线上的任一点都表示消费者获得了效用最大化。

②都是一种消费者行为理论，都把消费者的行为看做是在既定的收入限制条件下追求效用最大化的过程。

③都以边际效用理论为基础，认为商品的价值或价格是由商品带给消费者的边际效用的大小来决定的。

④它们推导的曲线具有相同的趋势，都符合需求规律。

（2）区别

①假设不同。基数效用论假设消费者消费商品所获得的效用是可以度量的，可以用基数表示。每个消费者都可以准确地说出自己所获得的效用值。边际效用具有递减规律。序数效用论则认为消费所获得的效用只可以进行排序，只可以用序数来表示。效用的大小及特征表现在无差异曲线中。

②使用的分析方法不同。基数效用论使用MU，即在预算约束下求效用值的最大化作为工具；而序数效用论则使用无差异曲线、预算线作为分析工具。

③均衡条件的表达不同。基数效用论使用表达式为MU_i/P_i=λ，序数效用论则表达为MRS_XY=MU_X/MU_Y=P_X/P_Y。

5．什么是吉芬商品（Giffen good）、低档商品（Inferior good）？二者有何关系？[厦门大学2014研]

答：（1）吉芬商品和低档商品的含义

①吉芬商品

吉芬商品是指需求与价格之间呈正向变化的一类商品，由英国统计学家罗伯特·吉芬提出而得名。吉芬商品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状，即价格越低购买的越少，价格越高反而购买的越多。如图3-19所示，横轴OX₁和纵轴OX₂分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是吉芬商品。消费者最初选择A点，随着商品1价格的下降，消费者选择B点，吉芬商品价格的下降反而导致了对该商品需求的减少。商品1价格下降的效应可以被分解成替代效应F₁E和收入效应EF₂。吉芬商品的特殊性在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格同方向变动。这也就是吉芬商品的需求曲线呈现向右上方倾斜的特殊形状的原因。

图3-19  吉芬商品的替代效应和收入效应

②低档商品

低档商品是指商品的需求与消费者的收入呈反方向变动的商品，即：低档商品的需求量随着消费者收入水平的提高而减少，随着消费者收入水平的下降而增加。如图3-20所示，横轴OX₁和纵轴OX₂分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是低档商品。消费者最初选择预算线RS上的A点，随着商品1价格的下降，消费者选择B点。商品1价格下降的效应可以被分解成替代效应F₁E和收入效应EF₂。可以发现，与正常商品不同的是，低档商品收入效应是负的。不过，因为替代效应超过了收入效应，所以低档商品价格的下降导致低档商品需求量的上升。

图3-20  低档物品的收入效应和替代效应

（2）吉芬商品与低档商品之间的关系

由上述分析可知，低档商品不一定是吉芬商品，而吉芬商品一定是低档商品。吉芬商品作为一种低档商品，收入效应超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格同方向的变动。

6．作图分析并说明政府对汽油征税并以所得税减免的方式返还全部税额时，消费者的满足程度将会下降。[对外经贸大学2011研]

答：如图3-21所示，横轴表示汽油，纵轴表示其他商品。政府对汽油征收从量税，使得汽油的价格从p上升至p′=p+t，对应的消费者对汽油的消费从x减少为x′。因此，通过征税从消费者那里得到的收入为：

R=tx′=（p′-p）x′

令y表示消费者在所有其他商品上的支出，并规定它的价格为1，那么最初的预算约束为：

px+y=m

实行退税计划后的预算约束为：

（p+t）x′+y′=m+tx′

上式整理可得：

px′+y′=m

可以看出，（x′,y′）在最初的预算约束下是可以支付得起的，但消费者却最终选择了（x,y）。因此，如图3-21所示，这种税收政策使得消费者的满足程度下降。

图3-21  包含税收返还计划的征税

7．政府对居民征税一般有两种办法，一种是征收消费税，另一种是征收所得税，不论采取哪一种征税办法，政府征收的税额都是一样的，那么哪一种征税办法对居民会更为有利些？[清华大学2010研]

答：假定该消费者只消费两种物品，征税前，该消费者的预算约束p₁x₁+p₂x₂=m，但当对物品1征收消费税后，该消费者的预算约束变为（p₁+t）x₁+p₂x₂=m。消费税的效果在图3-22中表示出来。如果用（x^*₁,x^*₂）表示税后消费水平，则征税所能得到的税收为tx^*₁。

图3-22  产品税与所得税

现在假定要对所得征税以获取同样的税收。消费者的预算约束则变为p₁x₁+p₂x₂=m-tx^*₁。这是条斜率为并通过（x^*₁,x^*₂）的直线，如图3-22所示。需要注意的是，这条预算线穿过了通过（x^*₁,x^*₂）的无差异曲线，所以，尽管都能得到同样的税收，但相对于缴纳消费税而言，消费者缴纳所得税能获得更高的效用水平。

对于获取同样的税收而言，消费者被征以消费税比被征以所得税所蒙受的效用损失更大。

三、计算题

1．考虑社会中一个典型消费者的效用函数为，和分别为商品1和商品2的消费量，该消费者的收入为1000元，两种商品价格都是1。求：

（1）消费者最优消费的和的量。

（2）假设政府想征收100元的税，它有两个选择：一是对收入征收10%的所得税，第二是对商品1征收消费税，设消费税率为t（即每消费一单位的商品1需要交纳t元的税），请设置一个恰好能够在消费者最优消费时征收到100元的税率t。

（3）比较上述两种措施对消费者效用的影响，哪种情况下消费者效用较大？[人大2016研]

解：（1）消费者实现消费均衡的条件是：。已知消费者的效用函数为

，对消费者的效用函数求导，得到商品1的边际效用为：；商品2的边际效用为：。将商品1和商品2的效用函数代入消费者均衡条件，可以得到：。将此方程与方程

联立，可以得到：，。

（2）对商品1征收消费税，税率是t。消费者实现消费均衡的条件是：

已知消费者的效用函数为，对消费者的效用函数求导，得到商品1的边际效用为：；商品2的边际效用为：。

将商品1和商品2的效用函数代入消费者均衡条件，可以得到：。将此方程与方程

联立，可以得到：，。

征收的税额，解得：。

（3）第一种情况:对收入征收10%的所得税。对收入征收10%的所得税，此时收入有900元。消费者实现消费均衡的条件是：。已知消费者的效用函数为

对消费者的效用函数求导，得到商品1的边际效用为：；商品2的边际效用为：。将商品1和商品2的效用函数代入消费者均衡条件，可以得到：。将此方程与方程联立，可以得到：，。此时，消费者效用=。

第二种情况：对商品1征收消费税，税率是t。由（2）问可知：，，消费者效用

=。

由于24.87＜24.96。因此，第一种情况对收入征收10%的所得税消费者的效用大。

2．2011年3月福山核泄露后，中国消费者大量囤积碘盐，这主要是因为有一部分消费者（A类消费者）错误地认为碘盐能够防辐射，增加了对碘盐的需求；另一部分消费者（B类消费者）并不相信这个，对碘盐的需求没有变化，假设碘盐的供给曲线是传统的斜向上曲线，没有发生变化：

（1）福山核泄露危机如何影响中国碘盐的均衡价格和数量。

（2）谁在碘盐能够防辐射的谣言下获利？分别从A类消费者和B类消费者的消费者剩余和生产者剩余去解释。[人大2015研]

解：(1)福山核泄露危机通过影响A类消费者的需求，从而影响碘盐的均衡价格和数量。如图3-23所示，碘盐市场的初始需求曲线、供给曲线分别为、，均衡价格为，均衡数量为。A类消费者认为碘盐能够防辐射，福山核泄漏使得他们增加了对碘盐的消费，从而需求曲线向右移动到，供给曲线不变。新的市场均衡价格上升到，均衡数量增加到。

图3-23  福山核泄漏危机对中国碘盐的影响

（2）生产者在碘盐能够防辐射的谣言下获利。

如图3-23所示，生产者剩余从增加到；由于新的市场均衡价格上升，B类消费者对碘盐的需求没有变化，因此其消费者剩余下降；A类消费者和B类消费者总的消费者剩余从变化到，该消费者剩余可能上升，也可能下降，这取决于消费价格弹性、供给价格弹性；对于A类消费者，虽然新的市场均衡价格上升，但是他们愿意为碘盐支付的价格也上升了，他们的消费者剩余很可能上升了。

3．假设某消费者只消费两种商品（X和Y），其效用函数可以表示为U（x，y）=min{x，y}，其中x代表商品X的数量，y代表商品Y的数量，min{x，y}代表x和y中较小的值。商品X的价格是p＞0，商品Y的价格是1。该消费者的收入为100。

（1）求该消费者的最优消费选择（x^*,y^*）。

（2）如果政府对该消费者征收占收入α%的个人所得税，0≤α≤100，求此时该消费者对商品X的需求函数是关于p与α的函数。

（3）假设个人收入所得税税率为20%，如果商品X的市场价格p从1上升2，该消费者在商品X的市场上的消费者剩余变化量是多少？

（4）现假设个人收入所得税税率为0，并假设商品X市场是供给无穷大的完全竞争市场。如果政府针对消费者对每消费1单位商品X征收不超过价格p的金额为τ的消费税（即τ≤p），并且变量最大化其来自该消费者的税收收入，那么政府应该如何设定消费税τ？最大化的税收收入是多少？（提示：最优的消费税和最大税收收入都是价格p的函数。）[清华大学2015研]

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

效用最大化的条件为x=y，代入预算约束条件px+y=100，可得该消费者最优消费选择为（x^*,y^*）=。

（2）若政府对该消费者征收占收入α%的个人所得税，则消费者的效用最大化问题为：

利用效用最大化的条件x=y，可得：此时该消费者对商品X的需求函数为x=，是关于p与α的函数。

（3）若个人所得税税率为20%，则消费者对X的需求函数为。

如果商品X的价格p从1上升到2，则该消费者在商品X的市场上的消费者剩余变化量为：

（4）如果政府针对消费者对每消费1单位商品X征收不超过价格p的金额为τ的消费税，则消费者的效用最大化问题为：

利用效用最大化的条件x=y，可得：此时该消费者对商品X的需求函数为。

此时，政府税收收入为，则税收收入对税率的一阶导数为：

由p＞0,τ＞0，可知，一阶导数恒大于0。此时，政府的消费税收入随着税率τ的增加而不断增加。所以当τ=p时，政府税收最大，此时政府税收收入为。

4．假设小明喜欢吃羊肉串（x）和啤酒（y），两者的价格分别为p_x、p_y，收入为I，其效用函数为

:

（1）如果羊肉串和啤酒的相对价格发生变动，是否会改变小明对这两种物品的消费组合？

（2）计算小明对羊肉串和啤酒这两种物品的需求函数。

（3）计算小明的间接效用函数和支出函数。[人大2015研]

解：（1）即使羊肉串和啤酒的相对价格发生变动，也不会改变小明对这两种物品的消费组合，因为小明的效用函数为，这表明对于小明，羊肉串和啤酒是两种互补的商品，使得小明效用最大化的消费比例满足。

（2）将代入小明的预算约束线p_xx+p_yy=I，可得：小明对羊肉串的需求函数为：

，对啤酒的需求函数为：。

（3）因为u=x=y/2，所以将或代入效用函数中，得间接效用函数V（p_x,p_y,I）=。

根据间接效用函数与支出函数的对偶性，得支出函数为E（p_x,p_y,u）=I=（p_x+2p_y）u。

5．假设小明的效用函数为U（x，y）＝x¹²y³⁸，其中x为食品消费量，y为其它商品消费量，且该居民的收入为5000元，x与y的价格均为10元，请计算：

（1）该居民的最优消费组合。

（2）若政府提供给该居民2000元的食品兑换券，此兑换券只能用于食品消费，则该居民的消费组合有何变化？[对外经贸大学2015研]

答：（1）由题意得消费预算约束线为：

10x＋10y＝5000　  ①

消费者效用最大化的均衡条件为：

MRS_xy＝MU_x/MU_y＝P_x/P_y

即：

6y=19x　 ②

联立①②可得：x＝120，y＝380

（2）政府提供2000元的食品兑换券，消费者效用最大化时，食品消费量不得低于200单位。由于政府的食品兑换券相当于现金，因此，该居民的预算约束线方程为：

7000＝10x＋10y

将效用最大化的均衡条件代入新的约束预算方程，可得：

x＝168

y＝532

由此可知，x＝168小于200。故该居民最终消费组合为x＝200，y＝500。

相比之前的消费组合，x和y的消费量都增加了。

6．一座城市有N个人。假设其中只有60%的人有购房能力，而且这部分人的收入和偏好都一样。考虑一个两产品的模型：房子和其他商品。设y为消费者购买的房屋面积（平方米），P为房屋每平方米的价格，x为房子以外的消费。有购房能力的消费者的收入为m，且他们对这两类产品的效用函数为u=x^1-αy^α。

（1）写下有购房能力的消费者的问题并求产品y的市场需求曲线。

（2）假设房地产市场上有M家开发商且完全竞争。房子y的生产需求土地L和资本K两个要素的投入。资本和土地的单位价格分别为w₁和w₂。对土地进行开发建设需要国土部分配的建设用地指标，而国土部分配给该城市的房地产开发建设用地指标总量是。假定地市政府将用地指标（免费）平均分配给M家开发商，房子的生产函数是y=K^0.5L^0.5。求房地产市场的供给曲线。

（3）根据（1）和（2）得到的房地产需求曲线和供给曲线，求市场均衡价格和产量。

（4）由于房价过高，政府对房地产市场进行调控。如果政府对房屋交易征收每平方米t元的税收，房子的均衡价格和产量是多少？如果政府把国土部分配的房地产开发建设用地指标的10%用做保障房建设，并通过摇号的形式把这些保障房免费分配给那些没有购房能力的人，此时房子的均衡价格和产量是多少？这两个政策能有效降低房价吗？[北大2015研]

解：（1）设其他商品的价格为P_x，则有购房能力的消费者的问题为：

由效用最大化的条件得：；代入预算约束条件得

，化简得：，此为有购房能力的消费者对产品y的需求。

产品y的市场需求曲线为每个消费者的需求曲线的相加，即：

（2）房子的生产函数为y=K^0.5L^0.5，且每家开发商拥有的用地指标为，所以每家开发商资本的投入为

，此时利润函数为

；

由利润最大化一阶条件，即，得。且，故为每个厂商利润最大化的产量。

房地产市场的供给曲线是每个开发商供给曲线的加总，即：

（3）联立（1）和（2）中的房地产需求曲线和供给曲线：

解得：房地产市场均衡价格为，均衡数量为。

（4）①如果政府对房屋交易征收每平方米t元的税收，则房地产市场的供给曲线变为y=，需求曲线不变，联立新的需求曲线与供给曲线：

解得：征收交易税后的房地产市场均衡价格为（舍去负值），均衡产量为。

②如果政府把国土部分配的房地产开发建设用地指标的10%用做保障房建设，并通过摇号的形式把这些保障房免费分配给那些没有购房能力的人，则每家开发商拥有的用地指标变为0.9，资本的投入变为，利润函数变为：

每个厂商利润最大化的产量变为，房地产市场的供给曲线变为y=My^*=，需求曲线仍为。联立需求曲线和供给曲线可得新的均衡价格为P^e=，均衡产量为

③显然，（4）中的均衡价格均比（3）中的均衡价格高，高价格会使得消费者减少对商品的需求，这又会在一定程度上降低房价，但作用是有限的。因为房产税虽然会增加投资者、持有者的成本，但是房产税的税率不可能很高，相当多的购房者已经承担了很多税费，根本不在意继续承担一个税率不高的房产税；同时，只要预期的价格上涨可以抵消房产税带来的成本增加，持有者就可以将房产税转嫁给后来的购买者和租房者承受。

针对没有购房能力的消费者建设的保障房面临识别困难，甄别一个人是否具备申请保障房的资格是非常困难的；同时地方政府缺乏建设保障房的动力，与商品房相比，建设保障房无利可图。

7．某消费者的效用函数为u（x₁,x₂）=，商品x₁和x₂的价格为p₁和p₂，收入为y。

（1）假设商品x₁和x₂的价格为p₁=1和p₂=2，该消费者收入为y=100。求该消费者对两种商品的需求量。

（2）若商品x₁价格升至2，即此时p₁=p₂=2，该消费者收入不变。求此价格变化对商品x₁产生的替代效应和收入效应。[厦门大学2014研]

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数：

一阶条件为：



由上述三式解得消费者对两种商品的需求函数分别为：

当p₁=1、p₂=2、y=100时，消费者对商品x₁的消费量为：

对商品2的消费量为：

此时消费者效用为：u（x₁,x₂）= 。

（2）当商品x₁的价格为=2时，有

由此可知，价格变化对x₁产生的总效应为-25。

为保持原有的效用水平（），消费者在新的价格水平（2，2）下的支出最小化问题为：

求解可得：。

所以，x₁价格上升的替代效应为：；

收入效应为：。

说明：上述替代效应和收入效应为希克斯替代效应和希克斯收入效应。斯勒茨基替代效应和收入效应的求解如下：

要使得购买力保持不变，则收入水平应调整为：y′=2x₁+2x₂=2×50+50=150。在该收入水平下，消费者对商品x₁的消费量为：。

因此，斯勒茨基替代效应为：x″₁-x₁=37.5-50=-12.5；斯勒茨基收入效应为：x′₁-x″₁=25-37.5=-12.5。

8．假设某消费者对于X和Y两种商品的效用函数为U=X²·Y²，其收入为500元，X和Y的价格分别为2元和5元，求：

（1）该消费者对于X和Y两种商品的最佳购买组合；

（2）若有俱乐部愿意接纳该消费者为会员，会费为100元，但他可以以50%的折扣购买X，那么他是否该加入该俱乐部?[武汉大学2014研]

解：（1）消费者效用最大化的均衡条件可以用公式表示为：

P₁X₁+P₂X₂+…+P_nX_n=I

由题可得：

MU_X=2XY²、MU_Y=2X²Y、P_X=2、P_Y=5、I=500

故代入上述公式可得：

X=125，Y=50

因此消费者的最佳购买组合为购买125单位X商品，购买50单位Y商品。

（2）①若加入俱乐部，则消费者可支配收入为500-100=400，此时X商品的价格为1。

在此情况下：

P_X=1、P_Y=5、I=400

故根据（1）中均衡条件计算出：X=200，Y=40。

此时消费者效用为：U=200²×40²=64000000。

②若不加入俱乐部，消费者的效用为：

U=125²×50²=39062500

因为64000000＞39062500，所以应该加入俱乐部。

9．小凡在A城市的一家企业工作，每月收入为2400元，他每月主要消费两种产品x和y。他的效用函数U（x,y）=x^1/2y^1/2。A城市的两种产品x和y的价格分别为100元和200元。小凡所在的企业往城市B发展，并设立分支机构。上司希望小凡到B城市去上班，在城市B，两种产品x和y的价格都是200元。

（1）如果在两个城市，小凡的收入相同，问在城市A和B对商品x的需求变化是多少？其中有多少可以归结为替代效应，有多少可以归结为收入效应？

（2）小凡的上司如果不给小凡涨工资的话，小凡不会愿意到B城市工作，因为B城市的物价相当于使他的工资减少了多少？那么小凡的上司至少需要给小凡加多少工资，才能使小凡愿意到B城市去上班呢？[上海财大2013研]

解：（1）效用函数U（x,y）=x^1/2y^1/2为柯布—道格拉斯形式，由柯布—道格拉斯函数的性质可知，消费者用于x、y商品的支出各占总收入的，即1200元。

故在A城市小凡消费x数量为：，在B城市商品x的消费量为： ,故在城市A和城市B对商品x的需求变化为：Δx=x₂-x₁=6-12=-6。

在B城市，为了维持在A城市的消费量，则小凡的支出为：

m′=2400+（200-100）×12=3600

在这种收入下，小凡对商品x的需求量为：。

从而替代效应为：x₃-x₁=9-12=-3；

收入效应则为：Δx-（x₃-x₂）=-6-（-3）=-3。

（2）①在B城市工作时的效用水平为：，为维持B城市的效用水平，小凡在A城市的支出最小化问题为：

min100x+200y

s.t.x^0.5y^0.5=6

解得：。

此时收入为

则小凡到B城市工作，相对于收入减少：m-m″=2400-1200。

②在B城市工作，为维持原有的效用水平，则小凡支出最小化问题为：

min200x+200y

解得：此时收入至少为：

故小凡的上司至少需要给小凡加2400-2400元工资，才能使小凡愿意到B城市去上班。

10．某消费者消费两种商品：商品1和商品2；商品价格为P₁和P₂，消费数量为X₁和X₂，并且该消费者愿意以a单位的商品1恒等换取b单位的商品2。当消费者消费商品1的量少于配给量时不征税，当超过这个量时增加部分每单位征税t。

（1）请写出该消费者的预算约束函数，并画图表示。

（2）请写出该消费者的效用函数。

（3）求出该消费者对商品1的普通需求函数。[北大2011研]

解：（1）设消费者的收入为M，则消费者消费商品1的量少于配给量时的预算约束函数为：

M=P₁X₁+P₂X₂  ①

消费者消费商品1的量不少于配给量X₁时的预算约束函数为：

　 　 ②

对应的图形如图3-24所示。

图3-24  预算约束线

（2）消费者愿意以a单位的商品1恒等换取b单位的商品2，说明两个商品是完全替代的，因此他的效用函数是一条直线，商品1替代商品2的比率为b/a，效用函数为：

U（X₁,X₂）=bX₁+aX₂

（3）效用函数和约束函数同为直线，因此最优消费点在角点处获得。

当效用线的斜率绝对值小于预算线斜率绝对值，即b/a＜P₁/P₂时，角解是预算线与纵轴交点，即此时商品1的需求函数为X₁=0。

当效用线的斜率绝对值大于预算线斜率绝对值，即b/a＞P₁/P₂时，角解分三种情况：

①当消费者消费商品1的量少于配给量时，此时角解是预算线与横轴交点，即商品1的需求函数为X₁=M/P₁；

②当消费者消费商品1的量不少于配给量时，若（P₁+t）/P₂＞b/a＞P₁/P₂，则角解是两条分段预算线的交点A，即商品1的需求函数为：；

③当消费者消费商品1的量不少于配给量X₁时，若（P₁+t）/P₂＜b/a，则角解是预算线与横轴交点A，即商品1的需求函数为：。

所以该消费者对商品1的需求函数为：

11．假设x和y商品的效用函数为U（x,y）=xy+y，计算x和y的马歇尔需求函数，并描述收入I或其他商品价格变化怎样使x和y的需求曲线发生变化。[南京大学2011研]

解：设x和y的价格分别为P_x和P_y，消费者的收入为I，则根据消费者最优选择条件，有：

结合预算方程：

P_xx+P_yy=I

可求得x和y的马歇尔需求函数分别为：。

根据需求函数可以判断，当收入I增加时，在价格不变的情况下，x和y的需求量都会增加，因此它们的需求曲线都会向右移动（需求量为横坐标）。相反，当收入I下降时，在价格不变的情况下，x和y的需求量都会减少，因此它们的需求曲线都会向左移动。

y的价格对x的需求曲线没有影响，而x的价格对y的需求曲线有影响。具体来说就是，当x的价格上升时，在收入和y的价格不变的情况下，y的需求量增加，因此y的需求曲线向右移动；而当x的价格下降时，在收入和y的价格不变的情况下，y的需求量减少，因此y的需求曲线向左移动。

12．消费者消费X、Y两种商品，效用函数为U（X,Y）=X²Y³，收入M=100元。

（1）求对商品X的需求函数。

（2）设商品Y的价格P_Y=3，商品X的价格P_X从2降为1，求替代效应和收入效应。[南开大学2011研]

解：（1）设商品X、Y的价格分别为P_X、P_Y，根据消费者最优选择条件，得：

整理得：2P_YY=3P_XX。

再结合约束条件M=P_XX+P_YY=100，可求得商品X的需求函数为：

（2）当P_Y=3，P_X=2时，根据上面求得的需求函数可以得到商品X的最优消费量为：

将数据代入预算约束中便得商品Y的最优消费量为：

当商品X的价格P_X从2降为1时，根据上面求得的需求函数，可以得到商品X的新最优消费量为：

因此，总的价格效应为（40-20）=20。替代效应计算如下：

为保持原来的购买力不变，设在新价格体系下的新收入（补偿性收入）应为M′，于是有：M′=P′_XX+P′_YY=20+60=80。设在新价格体系下消费者对两商品的最优消费量为X′、Y′，根据消费者最优选择条件有：

整理得：Y′=0.5X′

此时的补偿预算线为：

联合得：X′=32。

因此替代效应为：（32-20）=12，收入效应为：（40-32）=8。

13．市场上黄瓜价格P_X=3元，西红柿价格P_Y=4元，张三的收入为50元，其效用函数为U（X,Y）=（X²+Y²）的平方根。

（1）根据上述条件计算张三的最大效用；

（2）做出张三的无差异曲线和预算线的图，分析张三的最优消费组合，与（1）对比，说明其有何区别并说明理由。[人大2010研]

解：（1）由题意得预算约束方程为3X+4Y=50。由效用函数U（X,Y）=得，MU_Y，边际替代率，可见边际替代率是随着X的增加而增加的，所以不能根据消费者均衡条件去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得，在点处的效用为，在另外一个点的效用为，因此张三的最大效用是。

（2）张三的无差异曲线和预算线如图3-25所示，对应的无差异曲线凹向原点，最优选择点为a点，此时张三效用水平为最大值。

图3-25  张三的无差异曲线和预算线

四、论述题

1．斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的异同。[厦门大学2006研；上海交大2004研]

答：希克斯替代效应与斯勒茨基替代效应是分别以两位经济学家希克斯与斯勒茨基的名字命名的。希克斯替代效应是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指使消费者在价格变化前后保持在同一条无差异曲线上）情况下所引起的商品需求量的变化。斯勒茨基替代效应是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指消费者在价格变化后能够购买他想要购买的价格变动以前的商品购买量）情况下所引起的商品需求量的变化。下面利用图3-26讨论斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应。

图3-26中的横坐标x表示某种特定的商品，纵坐标y表示除了x商品以外的所有其他商品。下面讨论y商品价格不变，x商品价格下降以后的替代效应。x商品降价前，预算线为aj₀，aj₀与无差异曲线U₀相切于E点，E点是消费者效用最大化的均衡点。在E点，x商品的购买量为q₀。x商品降价后，预算线变为aj₃，消费者效用最大化的均衡点为P点。

假定想在x商品降价后维持消费者的实际收入不变。按照希克斯替代效应中所定义的实际收入，应该使消费者在新的价格比率下回到x商品降价前的无差异曲线，通过画一条与aj₃相平行、并与原无差异曲线U₀相切的预算线可以保证这种意义上的实际收入不变。图3-26中，a₁j₁便是所需要的预算线，a₁j₁与U₀相切于R点，与R点相对应的x商品的购买量为q₁，q₁-q₀便是希克斯替代效应。

图3-26  希克斯替代效应与斯勒茨基替代效应

按照斯勒茨基替代效应中所定义的实际收入，若想在x商品降价后维持消费者的实际收入不变，应该使消费者在新的价格比率下能够购买他在降价前所能购买的商品数量，即能够购买图3-26中E点所表示的商品数量。通过画一条与预算线aj₃相平行、并且过E点的预算线可以保证这种意义上能够的实际收入不变。图3-26中的a₂j₂就是所需要的预算线。a₂j₂和一条高于无差异曲线U₀、低于无差异曲线U₂的无差异曲线U₁相切，切点为T。与T点相对应的x商品的购买量为q₂。q₂-q₀为斯勒茨基替代效应。由于q₂大于q₁，所以斯勒茨基替代效应大于希克斯替代效应。

2．假定一个学生只消费食品和书本两种商品，在过去的4年中她生活在北京，每月她消费1份食品和2份书本，每份食品的价格为1元，书本的价格为2元，后来她考上了中山大学研究生并到广州生活。在那里她每月消费2份食品和2份书本，每份食品和书本的价格都是1元。请问：

（1）到广州后她每月的生活水平是提高了，还是下降了？为什么？

（2）她的消费行为符合显示偏好弱公理吗？

（3）如果她搬到广州后每月消费的食品多于3份，那么她的消费行为还符合弱公理吗？为什么？

（4）如果她在北京生活时，每月消费4份食品和0.5份书本，那么她搬来广州后生活水平是提高了，还是下降了？为什么？（提示：先画图，后回答）[中山大学2007研]

答：（1）到广州以后，她每月的生活水平提高了。

在北京她每月用于食品和书本的支出为：1×1＋2×2＝5（元），而在广州她每月用于食品和书本的支出为：1×2＋1×2＝4（元）。此时她用于食品和书本的总支出减少了，但是她获得的食品和书本数量并没有减少，书本数量不变，食品数量反而增加了，她可以用（相对于在北京生活）多余的1元钱用于购买其他商品，因此她的生活水平因为广州相对低于北京的物价而变好了。

（2）她的行为符合显示偏好弱公理。

图3-27  显示偏好弱公理

如图3-27所示，在预算约束L₁下，消费者选择了A点处的消费组合，在预算约束L₂下，A点显然仍是可行的，但是消费者选择了位于A点右方的B点，B点显然比A点给该学生带来的效用水平要高。

此外，也可以采用表格法判断。如表3-6所示，在北京的物价和收入下是买不起广州的消费组合的；但是在广州的收入和物价下，她却买得起北京的消费组合，这意味着她更偏好广州的消费组合。

表3-6  物价与消费组合

（3）如果她搬到广州后每月消费的食品多于3份，那么她的消费行为还符合弱公理。因为此时她的消费选择点将位于图3-27中的BE段，此时显示偏好弱公理仍将成立。

（4）如果她在北京生活时，每月消费4份食品和0.5份书本，那么她搬来广州后生活水平的变化无法判断。如图3-27所示，此时她的消费组合为点C，原来的消费组合为点B，因而显示偏好理论无法判断。