2.6 离散状态方程的解

线性定常离散时间动态系统可用式（2-69）所示的离散非齐次状态方程描述，即

式中，k为采样序列号，k=k0，k0+1，k0+2，…；T为采样周期；x（kT）、u（kT）分别为t=kT时刻的状态向量、输入向量。

为了书写简便，常采用k、k+1表示kT、kT+T，将式（2-69）简写为

式（2-70）和线性定常连续非齐次状态方程式（2-36）相似，其揭示了线性定常离散系统和线性定常连续系统本质上的相似，读者在学习离散状态方程求解时应注意与连续系统的动态分析对照。式（2-70）可采用递推法和Z变换法求解。

2.6.1 递推法求解线性离散状态方程

式（2-70）的解可直接由式（2-70）采用递推法求，即

关于以上求解作如下几点讨论：

①线性定常离散非齐次状态方程求解公式（式（2-71））与线性定常连续非齐次状态方程求解公式（式（2-42））结构相似，系统的全响应也为零输入响应与零状态响应之和，即全解x（k）由源于系统初始状态的自由运动项和源于输入作用的受控运动项两部分构成，但kT时刻的受控运动项只与此时刻前的输入序列（u（i），i=k0，k0+1，…，k-1）有关，而与kT时刻的输入采样值u（k）无关。

②式（2-71）是设初始时刻t0=k0T≠0推出的。若k0=0，即t0=k0T=0，对应初始状态为x（0），则线性定常离散非齐次状态方程初值问题的解为

③将式（2-71）、式（2-72）分别与式（2-42）、式（2-43）对照，可定义线性定常离散系统对应初始时刻t0=k0T≠0、t0=k0T=0的状态转移矩阵分别为

线性定常离散系统状态转移矩阵具有和线性定常连续系统状态转移矩阵（矩阵指数）相似的运算性质，即有

若Φ（k）非奇异，即G非奇异，则有

Φ-1（k）=Φ（-k）

与线性定常连续系统矩阵指数的求解方法相似，线性定常离散系统状态转移矩阵可采用直接法（据定义式（2-73）或式（2-74）求）、Z变换法、利用特征值标准型及相似变换计算、化Gk为G的有限项多项式计算这4种方法计算。

采用状态转移矩阵，对应初始时刻t0=k0T≠0、t0=k0T=0线性定常离散非齐次状态方程初值问题的解可分别写为

④递推法只能得到有限项时间序列，得不到解析解，但递推法很适合在数字计算机中进行迭代运算，而且递推法不仅适用于解线性定常离散状态方程，同时也适用于解线性时变离散状态方程。

设t0=k0T=0，线性时变离散非齐次状态方程为

式中，G（k）、H（k）中各元素均为已知的时间函数。可采用递推法求解式（2-77）得

设k＞k1，定义线性时变离散系统状态转移矩阵Φ（k，k1）为

则式（2-77）解的通式可写为

2.6.2 Z变换法求解线性定常离散状态方程

对线性定常离散系统状态方程式（2-70），设k0=0，可采用Z变换法求得其解析解。

在k0=0的初始条件下，式（2-70）两边作Z变换，得

对式（2-80）两边取Z反变换，得

对比式（2-76）和式（2-81），可得基于Z变换求线性定常离散系统状态转移矩阵解析式的方法，即

显然，将离散系统状态方程的解代入离散系统输出方程即得离散系统的输出响应。

【例2-10】 已知线性定常离散系统状态方程为

u（k）为单位脉冲序列1（k），即当k=0，1，2，3，…，u（k）=1。求：（1）状态转移矩阵Φ（k）；（2）状态方程的解。

解（1）线性定常离散系统状态转移矩阵的求解与连续系统矩阵指数相似，可采用以下4种方法计算。

①直接法（据定义式求）

根据定义式（2-74），得

由上式可迭代求出各采样时刻状态转移矩阵Φ（k）的数值解，但得不到其封闭形式的解析式，即

②Z变换法

因为故由式（2-82）得

可见，运用Z变换可求线性定常离散系统状态转移矩阵的解析式。读者可将k=1，2，3，…代入上式验证所得Φ（k）即为直接法求出的数值解。

③利用特征值标准型及相似变换计算

易知G矩阵的两个特征值互异，即λ1=-0.4，λ2=-0.5，且G矩阵为友矩阵，则应用Vandermonde矩阵可将其变换为对角阵，即

且有

则对照式（2-18）有

④化Gk为G的有限项多项式计算

根据凯莱-哈密顿定理，对n阶方阵G，当k≥n时，Gk可用G的（n-1）次多项式表示，即

Gk=α0（k）I+α1（k）G+…+αn-1（k）Gn-1

式中，α0（k），…，αn-1（k）为待定的一组关于k的标量函数，可参照连续系统的求解公式求得。本题系统矩阵G的特征值为λ1=-0.4，λ2=-0.5，则参照式（2-32）有

故有

（2）可采用递推法和Z变换法求状态方程的解

①采用递推法求状态方程的序列解，由式（2-76）有

②采用Z变换法求状态方程封闭形式的解析解

u（k）为单位脉冲序列1（k），则U（z）=z/（z-1）。根据式（2-80），得

则

读者可将k=1，2，3，…代入上式验证所得x（k）即为递推法求出的数值解。